Только тут многообразие у нас двумерное - это не тор, а поверхность тора. С поверхностью сферы не гомеоморфно.
Почему частоты нот строятся от ля? (6 онлайн)
- Автор темы GregH
- Дата начала
Отнюдь.
Если интервал между 220 и 440 поделить ровно пополам, получится 311.13.
Дальше читать не стал
Вот для этого (чтобы сделать незаметным) на рояле и применяется для каждой клавиши по 2-3 струны, настроенных чуть в разлив.
Во-первых, в "перечисленных выше" фигурируют 5/3 и 6/5, а это в квинтовы
Кстати, о понятии "считаются": правит всем физиология и психоакустика, а не чистая математика. Что уважаемые доны скажут о кривых Рейлсбека? Математика - дело хорошее, но для ОЩУЩЕНИЯ стройности при движении к краям диапазона настройщики завышают верхний регистр и занижают нижний.
А с появлением на рынке цифровых тюнеров желающие моментально превратиться в настройщика потерпели грандиозное фиаско )))
А с появлением на рынке цифровых тюнеров желающие моментально превратиться в настройщика потерпели грандиозное фиаско )))
Четыре восходящих шага квинтой от А действительно формируют ступень C#. Но в данном случае этот диез не равен диезу РТС12 (~18/17) и не равен диезу чистого строя (25/24). А также не равен натуральному полутону (16/15).
Диез в квинтовом строе - это греческая лимма (другое название "диесис") с математической пропорций 253/246. Но нам важна акустическая пропорция этого полутона: ~20/19. Отклонение 256/243 от 20/19 - всего 2 цента.
В квинтовом строе можно двигаться чистыми квинтами не только "вперед", но и "назад". На восьмом нисходящем квинтовом шаге от А формируется ступень C#↓, интересная тем, что альтерация #↓ имеет пропорцию ~25/24 - это диез чистого строя. Вот почему А - С#↓ - это большая терция с пропорцией ~5/4 (с погрешностью в два цента). И, разумеется, большая терция делит чистую квинту строго пополам.
И то верно, что глаза-то ломать.
Одним из наиболее убедительных и объективных критериев гармонии можно считать симметрию.
В древнегреческой легенде божественная лира Гермеса имеет всего 4 струны. Крайние струны лиры настроены в октаву, а две средние в кварту и квину относительно крайних струн.
Натуральная звуковысотная формула этой настройки: 6 - 8 - 9 - 12 (например, С4 - F4 - G4 - C5 [264 Гц - 352 Гц - 396 Гц - 528 Гц] ).
Ступень G4 является "арифметическим" центром симметрии октавы С4 - С5: 9 = (6 + 12)/2.
А что же ступень F4 ? Оказывается - это второй центр симметрии октавы С4 - С5, "гармонический": 1/8 = (1/6 + 1/12)/2.
На первый взгляд - чистейшая математическая схоластика. Ан нет !
Высота музыкального звука может быть измерена не только по числу колебаний струны в секунду (в герцах), но и по продолжительности одного полного колебания струны в миллисекундах - С4 (3,7878 мсек) - F4 (2,841 мсек) - G4 (2,5252 мсек) - C5 (1,8939 мсек).
Так вот период колебания тона F4 - это среднее арифметическое от периодов колебаний тонов С4 и С5: 2,841 = (3,7878 + 1,8939)/2.
Квинта и кварта - это два акустических центра симметрии октавы - частотный и периодный.
Легенда о лире Гермеса как раз об этом !
Разумеется, древние греки знали еще и третий вид симметрии - "геометрический".
Геометрическим центром симметрии октавы С4 - С5 будет ступень с частотой 373,35 Гц. Акустическая пропорция ~24/17 близка к пропорции тритона 10/7, но с большой погрешностью.
Применительно к октаве А3 - А4 получаем геометрический центр: 311,13 Гц. В древних легендах, посвященных музыкальной гармонии такой интервал не упоминается.
Тем не менее, именно геометрическая прогрессия (квинтовый ход) положена в основу музыкального строя древних греков, музыкального строя древнего Китая, и музыкального строя древних арабов.
Арабская музыкальная комма имеет пропорцию 77/76. 53 шага арабской коммой - это почти точная октава (1,999346).
31 шаг в комму порождает пропорцию квинты (1,499654)
22 шага в комму - пропорцию кварты (1,333205)
и т.д.
Поскольку период - величина обратная частоте, тот же результат вы получите, от среднего арифметического соответствующих частот.
И тогда, весь Ваш "спич" можно сократить вдвое, обходясь без сенсационных "Так вот..." И прочего "герметизма".
Физика, сэр.
Реальная струна, особенно с навивкой, сильно отличается от математической струны. У нее обертона не кратны основному тону, а несколько выше. А, как я уже писал выше, степень консонантности созвучий пропорциональна проценту совпадающих обертонов, то и здеь нужно исходить не из частоты основного тона, а из частот обертонов. Т.к. расстояние от основного тона до обертона получается немного больше целочисленного (т.е. шкала немного растянута), то и оптимальное соотношение между частотами основного тона для максимально благозвучного сочетания оказывается в той же степени увеличенным.
Выше уже неоднократно было отмечено, что определяющей в данном вопросе является не математика и не физика, а физиология.
А с точки физиологии орган слуха человека (ухо) имеет логарифмическую характеристику по обеим осям: оси громкости и оси частоты.
Поэтому и для указания расстояний здесь используются логарифмические единицы: децибел и октава (и производные: полутон, цент) соответственно.
Поэтому попытка навесить на гармонию какую-то "арифметическую" математику заранее обречена на провал.
И это никак не связано с древними греками, которые, кстати, логарифмов не знали.
Герцман показывает в своих сочинениях тетрактис Птолемея – 6:8:9:12 применительно к соотношению октавы с квинтой и квартой.
Цифры - соотношения высот звуков лиры Гермеса, выраженные в несокращаемых целых числах.
Вы должны быть в курсе того, что логарифмическая прогрессия и геометрическая прогрессия - идентичны.
Впервые слышу о логарифмической прогрессии. Но - да, геометрическая прогрессия равномерна в логарифмическом масштабе.
Собственно, это основные термины: "геометрическая прогрессия" и "логарифмический масштаб". Думаю, если мы будем в устоявшихся терминах менять местами слова, ничего хорошего из этого не получится.
Собственно, это основные термины: "геометрическая прогрессия" и "логарифмический масштаб". Думаю, если мы будем в устоявшихся терминах менять местами слова, ничего хорошего из этого не получится.
+1, это обычная экспонента. Тут применим термин логарифмическая шкала.
Какие жаркие дискуссии кипят, мужей ученых вовлекая...
А безграмотные бедуины с феддаинами исполняют музыку свою совершенно неосознанно - аки Остап Ибрагимович в сеансе одновременной игры в шашки - простите, в шахматы.
Поистине не знают, что творят )))
А безграмотные бедуины с феддаинами исполняют музыку свою совершенно неосознанно - аки Остап Ибрагимович в сеансе одновременной игры в шашки - простите, в шахматы.
Поистине не знают, что творят )))
Дошло, откуда взяли логарифм - если брать обратную функцию, то есть не вычислять частоту по ноте, а наоборот, из частоты находить исходную ноту, то и будет тот самый логарифм.
Полагаю, что вопрос был не о физике реальной струны, и не о том, откуда берется кривая Рейлсбека (это понятно) , а о том, что какой смысл вообще говорить и спорить про эти близости к целочисленным соотношениям, если при настройке реального фортепиано даже этот критикуемый равномерно темперированный строй не получается полноценно сделать. Даже октавы не получается у фортепиано настроить точными по психофизическим причинам. При этом ухо слушателя привыкло к этой кривой Рейлсбека, и если сделать все обертона струн математически точными, звук перестанет быть звуком фортепиано. Мы привыкли слушать именно физическую живую струну, где обертона не точно кратны основному тону.
Для каждого прямого арифметического действия можно сформулировать два обратных действия.
Для сложения (a+b=c) имеем вычитание (a=c-b; b=c-a)
Для умножения (a*b=c) имеем деление (a=c/b; b=c/a)
Для возведения в степень (a^b=c) имеем извлечение корня и извлечение логарифма (a=b^(1/c); b=log c по основанию а)
Ноты (ступени) равномерно темперированного строя вычисляются не как логарифмы, а как дробные степени двойки, например:
С = 2^0=1,0; C#=2^(1/12)=1,059463; D= 2^(2/12)=1,122462; D#=2^(3/12)=1,189207; E==2^(4/12)=1,259921 ..........................
Не понял причем здесь ГЕРМЕТИЗМ (тайное знание) ?
Вы, вероятно, давно знали, что период колебания ступени F4 есть среднее арифметическое от периодов колебаний С4 и С5 ?
А кто упомянул легенду о лире Гермеса?
Давно я это знаю или нет, не имеет значения. Значение имеет следующее:
Но ведь ПЕРИОД и ЧАСТОТА это, суть одного и того же процесса! И результат, соответственно один. Добро бы при операции с частотами были бы одни цифры, а при операции с временем колебания - другие. Так нет. Тогда к чему этот "посыл"? По этому, я и отметил, что такая "подача" материала лишь "словесная шелуха".
А, если конкретизировать абстрактное арифметическое действие до конкретной функции вычисления частоты из номера ноты (в вашем примере вычисляются не ноты, а их частоты), которая действительно сводится к степеням двойки, то есть к экспоненте, то обратная функция по смыслу может быть только одна - из частоты вычислить ноту (её номер). И это будет логарифм.
-- Да ни к чему оно не привыкло. Кривая эта была выведена на основе обмеров хорошо звучащих инструментов, а не наоборот...
P.S. "До кучи": http://long.ru/books/kuz/index.html
Прекрасная статья! Спасибо.
Всю книгу, если кто заинтересуется, можно скачать в архиве Бориса Тараканова: